Differential Calculus
අවකලනය — මූලික නීති, පියවරෙන් පියවර විසඳුම් සහ විභාග ආදර්ශ ගැටලු
💡 Calculus & Derivative (අවකල්‍යය යනු කුමක්ද?)
අවකලනය මගින් යම් ශ්‍රිතයක වෙනස්වීමේ ක්ෂණික ශීඝ්‍රතාවය (Instantaneous Rate of Change) හෝ ප්‍රස්ථාරයක වක්‍රයේ ස්පර්ශකයේ බෑවුම (Gradient / Slope) ගණනය කරයි.
$$f'(x) = \frac{dy}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$
1. සම්මත අවකලන නීති (Standard Differentiation Rules)
අවකලනයේදී නිතරම භාවිතා වන මූලික නීති සහ පියවරෙන් පියවර නිදසුන්:
I. Constant Rule (නියත රීතිය)
නියත අගයක් කිසිදා වෙනස් නොවන බැවින් (ශීඝ්‍රතාවයක් නැත), එහි අවකලනය 0 වේ:
$$\mathbf{\frac{d}{dx}(c) = 0}$$
Example 1: $\frac{d}{dx}(5) = \mathbf{0}$
Example 2: $\frac{d}{dx}(-14) = \mathbf{0}$
Example 3: $\frac{d}{dx}(\pi) = \mathbf{0}$
Example 2: $\frac{d}{dx}(-14) = \mathbf{0}$
Example 3: $\frac{d}{dx}(\pi) = \mathbf{0}$
II. Power Rule (බල රීතිය)
බලය ඉදිරියට සංගුණකයක් ලෙස ගෙනැවිත්, මුල් බලයෙන් 1ක් අඩු කරයි:
$$\mathbf{\frac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1}}$$
Example 1: $\frac{d}{dx}(x^5) = 5x^{5-1} = \mathbf{5x^4}$
Example 2: $\frac{d}{dx}(x^8) = 8x^{8-1} = \mathbf{8x^7}$
Example 3: $\frac{d}{dx}(x) = 1 \cdot x^{1-1} = 1x^0 = \mathbf{1}$
Example 4: $\frac{d}{dx}(x^{-3}) = -3x^{-3-1} = \mathbf{-3x^{-4} = -\frac{3}{x^4}}$
Example 2: $\frac{d}{dx}(x^8) = 8x^{8-1} = \mathbf{8x^7}$
Example 3: $\frac{d}{dx}(x) = 1 \cdot x^{1-1} = 1x^0 = \mathbf{1}$
Example 4: $\frac{d}{dx}(x^{-3}) = -3x^{-3-1} = \mathbf{-3x^{-4} = -\frac{3}{x^4}}$
III. Constant Multiple Rule (නියත සංගුණක රීතිය)
නියත සංගුණකය ($c$) එලෙසම පිටත තබා ශ්‍රිතය පමණක් අවකලනය කර අවසානයේ ගුණ කරයි:
$$\mathbf{\frac{d}{dx}[c \cdot f(x)] = c \cdot f'(x)}$$
Example 1: $\frac{d}{dx}(4x^3) = 4 \cdot \frac{d}{dx}(x^3) = 4(3x^2) = \mathbf{12x^2}$
Example 2: $\frac{d}{dx}(-7x^4) = -7(4x^3) = \mathbf{-28x^3}$
Example 3: $\frac{d}{dx}(9x) = 9(1) = \mathbf{9}$
Example 2: $\frac{d}{dx}(-7x^4) = -7(4x^3) = \mathbf{-28x^3}$
Example 3: $\frac{d}{dx}(9x) = 9(1) = \mathbf{9}$
IV. Sum & Difference Rule (එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීමේ රීතිය)
බහුපද ශ්‍රිතයක සෑම පදයක්ම වෙන් වෙන් වශයෙන් අවකලනය කර අතරමැදි ලකුණු ($+$ හෝ $-$) එලෙසම තබයි:
$$\mathbf{\frac{d}{dx}[f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x)}$$
Example 1: $y = x^4 - 3x^2$ හි අවකලනය:
$$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^4) - \frac{d}{dx}(3x^2) = \mathbf{4x^3 - 6x}$$ Example 2: $y = 5x^3 + 2x^2 - 7x + 10$ හි අවකලනය:
$$\frac{dy}{dx} = 5(3x^2) + 2(2x) - 7(1) + 0 = \mathbf{15x^2 + 4x - 7}$$
$$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^4) - \frac{d}{dx}(3x^2) = \mathbf{4x^3 - 6x}$$ Example 2: $y = 5x^3 + 2x^2 - 7x + 10$ හි අවකලනය:
$$\frac{dy}{dx} = 5(3x^2) + 2(2x) - 7(1) + 0 = \mathbf{15x^2 + 4x - 7}$$
2. ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත අවකලනය (Trigonometric Rules)
$\sin(x)$ අවකලනය
$$\mathbf{\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x}$$
Example: $y = 3\sin(x)$
$\frac{dy}{dx} = 3 \cdot \frac{d}{dx}(\sin x) = \mathbf{3\cos(x)}$
$\frac{dy}{dx} = 3 \cdot \frac{d}{dx}(\sin x) = \mathbf{3\cos(x)}$
$\cos(x)$ අවකලනය
$$\mathbf{\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x}$$
Example: $y = -5\cos(x)$
$\frac{dy}{dx} = -5(-\sin x) = \mathbf{5\sin(x)}$
$\frac{dy}{dx} = -5(-\sin x) = \mathbf{5\sin(x)}$
*සෘණ (-) ලකුණ ගැන විශේෂයෙන් සැලකිලිමත් වන්න!
3. දාම නීතිය (Chain Rule)
සංයුක්ත ශ්‍රිත (Composite Functions - Function ඇතුළේ තවත් Function එකක් ඇති විට, උදා: $[g(x)]^n$) අවකලනයට Chain Rule භාවිතා කරයි:
$$\mathbf{\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}}$$
⚡ Shortcut Method (කෙටි ක්‍රමය - පිටත සිට ඇතුළට අවකලනය):
$$\frac{d}{dx}[u(x)]^n = n[u(x)]^{n-1} \cdot u'(x)$$
(මුළු වරහනම $x$ සේ සලකා බලය ඉදිරියට ගෙන එකක් අඩු කරන්න, පසුව වරහන ඇතුළත ඇති පදයේ අවකලනයෙන් ගුණ කරන්න.)
පියවරෙන් පියවර නිදසුන (Detailed Step-by-Step Example):
ගැටලුව: $y = (4x^2 - 5)^6$ හි අවකලනය සොයන්න.
පියවර 1: ඇතුළත ඇති ශ්‍රිතය $u$ ලෙස ආදේශ කරන්න:
$$u = 4x^2 - 5 \implies y = u^6$$ පියවර 2: පිටත ශ්‍රිතය $u$ විෂයෙන් අවකලනය කරන්න:
$$\frac{dy}{du} = \frac{d}{du}(u^6) = 6u^5$$ පියවර 3: ඇතුළත ශ්‍රිතය $x$ විෂයෙන් අවකලනය කරන්න:
$$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(4x^2 - 5) = 8x - 0 = 8x$$ පියවර 4: Chain Rule සූත්‍රයට ආදේශ කර $u$ හි මුල් අගය යොදන්න:
$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 6u^5 \cdot (8x) = 48x \cdot u^5$$ $$\mathbf{\frac{dy}{dx} = 48x(4x^2 - 5)^5}$$
$$u = 4x^2 - 5 \implies y = u^6$$ පියවර 2: පිටත ශ්‍රිතය $u$ විෂයෙන් අවකලනය කරන්න:
$$\frac{dy}{du} = \frac{d}{du}(u^6) = 6u^5$$ පියවර 3: ඇතුළත ශ්‍රිතය $x$ විෂයෙන් අවකලනය කරන්න:
$$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(4x^2 - 5) = 8x - 0 = 8x$$ පියවර 4: Chain Rule සූත්‍රයට ආදේශ කර $u$ හි මුල් අගය යොදන්න:
$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 6u^5 \cdot (8x) = 48x \cdot u^5$$ $$\mathbf{\frac{dy}{dx} = 48x(4x^2 - 5)^5}$$
4. ව්‍යංග අවකලනය (Implicit Differentiation)
$y = f(x)$ ලෙස $y$ තනි කර නොමැති විට ($x$ සහ $y$ එකට මිශ්‍ර වී ඇති විට):
⚠️ ප්‍රධාන රීතිය:
$y$ සහිත පදයක් $x$ විෂයෙන් අවකලනය කරන සෑම අවස්ථාවකදීම, සාමාන්‍ය ආකාරයට අවකලනය කර අගට $\frac{dy}{dx}$ ගුණ කළ යුතුය.
උදා: $\frac{d}{dx}(y^3) = 3y^2 \cdot \frac{dy}{dx}$
උදා: $\frac{d}{dx}(y^3) = 3y^2 \cdot \frac{dy}{dx}$
පියවරෙන් පියවර නිදසුන (Detailed Step-by-Step Example):
ගැටලුව: $x^3 + y^3 = 6xy$ වෙනුවෙන් $\frac{dy}{dx}$ සොයන්න (හෝ $x^2 + y^2 = 36$).
නිදසුන ($x^2 + y^2 = 36$):
පියවර 1: දෙපසම $x$ විෂයෙන් පදයෙන් පද අවකලනය:
$$\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(36)$$ $$2x + 2y \cdot \frac{dy}{dx} = 0$$ පියවර 2: $\frac{dy}{dx}$ සහිත පද වම්පස තබා ඉතිරි පද දකුණට ගෙන යන්න:
$$2y \cdot \frac{dy}{dx} = -2x$$ පියවර 3: $\frac{dy}{dx}$ තනි කරන්න:
$$\mathbf{\frac{dy}{dx} = \frac{-2x}{2y} = -\frac{x}{y}}$$
පියවර 1: දෙපසම $x$ විෂයෙන් පදයෙන් පද අවකලනය:
$$\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(36)$$ $$2x + 2y \cdot \frac{dy}{dx} = 0$$ පියවර 2: $\frac{dy}{dx}$ සහිත පද වම්පස තබා ඉතිරි පද දකුණට ගෙන යන්න:
$$2y \cdot \frac{dy}{dx} = -2x$$ පියවර 3: $\frac{dy}{dx}$ තනි කරන්න:
$$\mathbf{\frac{dy}{dx} = \frac{-2x}{2y} = -\frac{x}{y}}$$
5. විභාග ආදර්ශ ගැටලු පියවරෙන් පියවර (MCS2 Model Paper 01 - Q03)
ප්‍රශ්නය 3.1: Differentiate with respect to $x$: $y = 4x^3 - 5x^2 + 7x - 9$ (4 marks)
Step-by-step: එකින් එක අවකලනය කරමු.
• $4x^3$ $\rightarrow 3$ ඉස්සරහට ඇවිත් $4$ න් ගුණ වෙනවා ($4 \times 3 = 12$). බලයෙන් 1ක් අඩු වෙනවා ($3 - 1 = 2$). උත්තරේ: $\mathbf{12x^2}$
• $-5x^2$ $\rightarrow 2$ ඉස්සරහට ඇවිත් $-5$ න් ගුණ වෙනවා ($-10$). බලය 1 වෙනවා. උත්තරේ: $\mathbf{-10x}$
• $+7x$ $\rightarrow x$ ගේ බලය 1යි. ඉස්සරහට ආවම $7 \times 1 = 7$. $x$ ගේ බලය 0 වෙනවා ($x^0 = 1$). උත්තරේ: $\mathbf{+7}$
• $-9$ $\rightarrow$ මේක නියතයක්. අවකලනය කළාම $\mathbf{0}$ යි.
• $-5x^2$ $\rightarrow 2$ ඉස්සරහට ඇවිත් $-5$ න් ගුණ වෙනවා ($-10$). බලය 1 වෙනවා. උත්තරේ: $\mathbf{-10x}$
• $+7x$ $\rightarrow x$ ගේ බලය 1යි. ඉස්සරහට ආවම $7 \times 1 = 7$. $x$ ගේ බලය 0 වෙනවා ($x^0 = 1$). උත්තරේ: $\mathbf{+7}$
• $-9$ $\rightarrow$ මේක නියතයක්. අවකලනය කළාම $\mathbf{0}$ යි.
Final Answer:
$$\mathbf{\frac{dy}{dx} = 12x^2 - 10x + 7}$$
ප්‍රශ්නය 3.2: Differentiate with respect to $x$: $y = 3\sin(x) + 4\cos(x)$ (4 marks)
Step-by-step: මේක standard නීති දෙකක්.
• $\sin(x)$ අවකලනය කළාම $\cos(x)$ එනවා. ඒ නිසා $3\sin(x) \rightarrow \mathbf{3\cos(x)}$
• $\cos(x)$ අවකලනය කළාම $-\sin(x)$ එනවා. ඒ නිසා $4\cos(x) \rightarrow \mathbf{-4\sin(x)}$
• $\cos(x)$ අවකලනය කළාම $-\sin(x)$ එනවා. ඒ නිසා $4\cos(x) \rightarrow \mathbf{-4\sin(x)}$
Final Answer:
$$\mathbf{\frac{dy}{dx} = 3\cos(x) - 4\sin(x)}$$
ප්‍රශ්නය 3.3: Differentiate using Chain Rule: $y = (3x+2)^5$ (6 marks)
Step-by-step: වරහනක් ඇතුලේ තව සමීකරණයක් තියෙද්දී තමයි Chain rule පාවිච්චි කරන්නේ (පිටින් අවකලනය කරලා, ඇතුළතත් අවකලනය කරලා ගුණ කරනවා).
• පියවර 1 (පිටත): මුළු වරහනම එක අකුරක් වගේ හිතන්න. අර Power rule එක දාන්න. $5$ ඉස්සරහට එනවා, බලය $4$ වෙනවා $\rightarrow \mathbf{5(3x+2)^4}$
• පියවර 2 (ඇතුළත): වරහන ඇතුලේ තියෙන $(3x+2)$ වෙනම අවකලනය කරන්න. $3x \rightarrow 3$ වෙනවා. $2 \rightarrow 0$ වෙනවා. උත්තරේ $\mathbf{3}$ යි.
• පියවර 3 (ගුණ කිරීම): පියවර 1 සහ පියවර 2 ගුණ කරන්න:
$$\frac{dy}{dx} = 5(3x+2)^4 \times 3$$
• පියවර 2 (ඇතුළත): වරහන ඇතුලේ තියෙන $(3x+2)$ වෙනම අවකලනය කරන්න. $3x \rightarrow 3$ වෙනවා. $2 \rightarrow 0$ වෙනවා. උත්තරේ $\mathbf{3}$ යි.
• පියවර 3 (ගුණ කිරීම): පියවර 1 සහ පියවර 2 ගුණ කරන්න:
$$\frac{dy}{dx} = 5(3x+2)^4 \times 3$$
Final Answer:
$$\mathbf{\frac{dy}{dx} = 15(3x+2)^4}$$
ප්‍රශ්නය 3.4: Find $dy/dx$ for implicit equation $x^2 + y^2 = 25$ using implicit differentiation (6 marks)
Step-by-step: $x$ සහ $y$ එකට කලවම් වෙලා තියෙද්දී $x$ විෂයෙන් අවකලනය කරන විදිහ. (මතක තියාගන්න $y$ අවකලනය කරද්දී අගට $\frac{dy}{dx}$ කෑල්ලක් එනවා).
• $x^2$ අවකලනය කළාම $\rightarrow \mathbf{2x}$
• $y^2$ අවකලනය කළාම $\rightarrow \mathbf{2y \cdot \frac{dy}{dx}}$
• $25$ (නියතය) අවකලනය කළාම $\rightarrow \mathbf{0}$
දැන් සමීකරණය ලියමු:
$$2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0$$ අපිට ඕනේ $\frac{dy}{dx}$ උක්ත කරන්න (තනි කරන්න):
$$2y\frac{dy}{dx} = -2x$$ $$\frac{dy}{dx} = \frac{-2x}{2y} \quad \text{(2 ට 2 කැපී යනවා)}$$
• $y^2$ අවකලනය කළාම $\rightarrow \mathbf{2y \cdot \frac{dy}{dx}}$
• $25$ (නියතය) අවකලනය කළාම $\rightarrow \mathbf{0}$
දැන් සමීකරණය ලියමු:
$$2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0$$ අපිට ඕනේ $\frac{dy}{dx}$ උක්ත කරන්න (තනි කරන්න):
$$2y\frac{dy}{dx} = -2x$$ $$\frac{dy}{dx} = \frac{-2x}{2y} \quad \text{(2 ට 2 කැපී යනවා)}$$
Final Answer:
$$\mathbf{\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}}$$
6. ස්වයං ඇගයීම් අභ්‍යාස (Self-Assessment MCQs)
1. $\frac{d}{dx}(7)$ හි අගය වන්නේ:
2. $y = 5x^3$ නම් $\frac{dy}{dx}$ හි අගය කුමක්ද?
3. $y = \cos(x)$ නම් එහි අවකල්‍යය $\frac{dy}{dx}$ කුමක්ද?
4. $y = (2x+1)^3$ අවකලනය කළ විට Chain Rule අනුව ලැබෙන පිළිතුර: