Topic 02 • කෙටි සටහන

Matrices & Matrix Applications

නියාස සහ ඒවායේ යෙදීම් — සරල සිංහල පැහැදිලි කිරීම් සහ අභ්‍යාස

💡 Order (මානය) මතක තබා ගැනීමේ නීතිය:

$$\text{Order} = \text{Rows} \times \text{Columns}$$

පළමුව තිරස් පේළි ගණන (Rows), දෙවනුව සිරස් තීරු ගණන (Columns).

1. Matrix (නියාසය) යනු කුමක්ද?

සංඛ්‍යා පේළි (Rows) සහ තීරු (Columns) ලෙස සකස් කර ඇති ආකෘතියකි:

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$$

↔️ Rows (පේළි) = 2

පේළි 1: $[1, 2, 3]$
පේළි 2: $[4, 5, 6]$

↕️ Columns (තීරු) = 3

තීරු 1: $\begin{bmatrix} 1 \\ 4 \end{bmatrix}$, තීරු 2: $\begin{bmatrix} 2 \\ 5 \end{bmatrix}$, තීරු 3: $\begin{bmatrix} 3 \\ 6 \end{bmatrix}$

ඒ අනුව ඉහත Matrix එකේ Order එක වන්නේ: $2 \times 3$ වේ.

2. Matrix වර්ග (Types)

1. Row Matrix (පේළි නියාසය)

තනි පේළියක් පමණි: $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \quad (1 \times 3)$

2. Column Matrix (තීරු නියාසය)

තනි තීරුවක් පමණි: $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} \quad (3 \times 1)$

3. Square Matrix (සමචතුරස්‍ර)

$\text{Rows} = \text{Columns}$: $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \quad (2 \times 2)$

4. Identity Matrix (ඒකක - $I$)

ප්‍රධාන විකර්ණය 1, අනෙක් ඒවා 0: $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

3. Matrix Addition (එකතු කිරීම)

Matrix දෙකක Order එක සමාන නම් පමණක් අනුරූප ස්ථාන එකතු කළ හැක:

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix}$$

4. Matrix Subtraction (අඩු කිරීම)

එකතු කිරීම ආකාරයටම අනුරූප අගයන් අඩු කරනු ලැබේ:

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1-5 & 2-6 \\ 3-7 & 4-8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 & -4 \\ -4 & -4 \end{bmatrix}$$

5. Scalar Multiplication (අදිශ ගුණිතය)

Matrix එකක සියලු අගයන් එම සංඛ්‍යාවෙන් ගුණ වේ:

$$2 \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2(1) & 2(2) \\ 2(3) & 2(4) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{bmatrix}$$

6. Matrix Multiplication (ගුණ කිරීම)

⚠️ අත්‍යවශ්‍ය කොන්දේසිය:

පළමු Matrix එකේ Columns ගණන = දෙවන Matrix එකේ Rows ගණන විය යුතුය.

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ සහ $B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}$ සලකමු:

පේළිය 1 × තීරුව 1: $(1 \times 5) + (2 \times 7) = 5 + 14 = 19$

පේළිය 1 × තීරුව 2: $(1 \times 6) + (2 \times 8) = 6 + 16 = 22$

පේළිය 2 × තීරුව 1: $(3 \times 5) + (4 \times 7) = 15 + 28 = 43$

පේළිය 2 × තීරුව 2: $(3 \times 6) + (4 \times 8) = 18 + 32 = 50$

$$AB = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix}$$

*මතක තබා ගන්න: සාමාන්‍යයෙන් $AB \neq BA$ වේ (පිළිවෙළ වැදගත්).

7. Determinant (නිර්ණායකය — $|A|$)

$$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \implies |A| = \det(A) = ad - bc$$

උදාහරණය: $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} \implies |A| = (2 \times 4) - (3 \times 1) = 8 - 3 = 5$

8. Inverse Matrix (ප්‍රතිලෝම නියාසය — $A^{-1}$)

$$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} \quad (|A| \neq 0)$$

උදාහරණය: $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \implies |A| = 1$

$$A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$$

9. Matrix ප්‍රායෝගික යෙදීම්

🎮 Graphics

2D/3D objects rotate, scale සහ position වෙනස් කිරීම.

📊 Analytics

දත්ත වගුගත කර ගණනය කිරීම හා පිරිවැය විශ්ලේෂණය.

⚙️ Equations

සමගාමී සමීකරණ පද්ධති විසඳීම.

10. සමීකරණ විසඳීම ($AX = B$)

$\begin{aligned} 2x + y &= 5 \\ x + y &= 3 \end{aligned} \implies \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 3 \end{bmatrix}$

$X = A^{-1}B$ සූත්‍රයෙන්:

$$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (5 - 3) \\ (-5 + 6) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$$

$$x = 2, \quad y = 1$$

11. ස්වයං ඇගයීම් අභ්‍යාස

ලකුණු: 0 / 4

1. $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$ Matrix එකේ Order (මානය) කුමක්ද?

2. $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ නම් $|A|$ හි අගය කීයද?

3. $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$ නම් $2A$ හි අගය සොයන්න.

4. Matrix Multiplication එකක් කළ හැකි වීමට අත්‍යවශ්‍ය කොන්දේසිය කුමක්ද?