Topic 04 • කෙටි සටහන

Integral Calculus

අනුකලනය — අනිශ්චිත හා නියමිත අනුකලන, සූත්‍ර සහ විභාග ආදර්ශ ගැටලු

💡 Integration (අනුකලනය යනු කුමක්ද?)

අනුකලනය යනු අවකලනයේ ප්‍රතිලෝම ක්‍රියාවලියයි (Anti-derivative / Reverse of Differentiation). ජ්‍යාමිතිකව ගත් කල, යම් වක්‍රයක් සහ අක්ෂයක් අතර ඇති වර්ගඵලය (Area under a curve) සහ සමුච්චිත අගයන් (Accumulation) ගණනය කිරීමට අනුකලනය යොදා ගනී.

1. අනිශ්චිත අනුකලනය (Indefinite Integral) & නියතය ($C$)

සීමා (Limits) රහිත අනුකලනයක් Indefinite Integral ලෙස හඳුන්වයි. එහි පිළිතුර අගට සෑම විටම අනුකලන නියතය (Constant of Integration - $C$) එකතු කළ යුතුය:

$$\int f(x) \,dx = F(x) + C$$

❓ ඇයි $C$ නියතය එකතු කරන්නේ? (Exam Theory Question)

අවකලනයේදී ඕනෑම නියතයක අගය 0 වේ. උදාහරණයක් ලෙස:

$$\frac{d}{dx}(x^2) = 2x, \quad \frac{d}{dx}(x^2 + 5) = 2x, \quad \frac{d}{dx}(x^2 - 100) = 2x$$

එමනිසා, $2x$ නැවත අනුකලනය කර මුල් ශ්‍රිතය සෙවීමේදී, එහි තිබූ නියත අගය කුමක්දැයි අපට නිශ්චිතවම කිව නොහැක. ඒ වෙනුවෙන් පොදුවේ $+ C$ යොදනු ලැබේ.

2. මූලික අනුකලන නීති සහ පියවරෙන් පියවර නිදසුන් (Integration Rules)

අනුකලනය කිරීමේදී බහුලව භාවිත වන ප්‍රධාන නීති සහ සවිස්තර උදාහරණ:

I. Constant Rule (නියත රීතිය)

නියතයක් අනුකලනය කළ විට එයට විචල්‍යය ($x$) ගුණ වී නියතය $+ C$ එකතු වේ:

$$\mathbf{\int k \,dx = kx + C}$$

Example 1: $\int 5 \,dx = \mathbf{5x + C}$
Example 2: $\int -9 \,dx = \mathbf{-9x + C}$
Example 3: $\int 1 \,dx = \int dx = \mathbf{x + C}$

II. Power Rule (බල රීතිය — $n \neq -1$ විට)

මුල් බලයට 1ක් එකතු කර, ලැබෙන නව බලයෙන් මුළු පදයම බෙදයි:

$$\mathbf{\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)}$$

Example 1: $\int x^3 \,dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \mathbf{\frac{x^4}{4} + C}$
Example 2: $\int x^7 \,dx = \frac{x^{7+1}}{7+1} + C = \mathbf{\frac{x^8}{8} + C}$
Example 3: $\int x \,dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = \mathbf{\frac{x^2}{2} + C}$
Example 4: $\int x^{-4} \,dx = \frac{x^{-4+1}}{-4+1} + C = \frac{x^{-3}}{-3} + C = \mathbf{-\frac{1}{3x^3} + C}$

III. Constant Multiple Rule (නියත සංගුණක රීතිය)

නියත සංගුණකය අනුකලන ලකුණෙන් පිටත තබා ශ්‍රිතය අනුකලනය කරයි:

$$\mathbf{\int c \cdot f(x) \,dx = c \int f(x) \,dx}$$

Example 1: $\int 6x^2 \,dx = 6 \left(\frac{x^3}{3}\right) + C = \mathbf{2x^3 + C}$
Example 2: $\int 12x^3 \,dx = 12 \left(\frac{x^4}{4}\right) + C = \mathbf{3x^4 + C}$

IV. Sum & Difference Rule (එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීමේ රීතිය)

පද වෙන් වෙන් වශයෙන් අනුකලනය කර නියතය $+ C$ අගට එකතු කරයි:

$$\mathbf{\int [f(x) \pm g(x)] \,dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx}$$

Example: $\int (4x^3 - 6x + 7) \,dx$
$$= 4\left(\frac{x^4}{4}\right) - 6\left(\frac{x^2}{2}\right) + 7x + C = \mathbf{x^4 - 3x^2 + 7x + C}$$

V. Special Logarithmic Rule ($\frac{1}{x}$ අනුකලනය)

Power Rule එකේ $n = -1$ වන විට හරය $0$ වන බැවින් ඒ සඳහා Natural Log ($\ln$) භාවිතා වේ:

$$\mathbf{\int \frac{1}{x} \,dx = \int x^{-1} \,dx = \ln|x| + C}$$

පොදුවේ හරයේ අවකලනය ලවයේ ඇති විට: $\int \frac{f'(x)}{f(x)} \,dx = \ln|f(x)| + C$

3. නියමිත අනුකලනය (Definite Integral)

පහළ සීමාව ($a$) සහ ඉහළ සීමාව ($b$) ලබා දී ඇති විට එය Definite Integral වේ. මෙහිදී අගට $C$ නියතය ලිවීම අවශ්‍ය නොවේ:

$$\int_a^b f(x) \,dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$$

පියවර: මුලින් සාමාන්‍ය ලෙස අනුකලනය කර $[F(x)]_a^b$ ලියන්න. ඉන්පසු ඉහළ සීමාව ($b$) ආදේශ කළ අගයෙන් පහළ සීමාව ($a$) ආදේශ කළ අගය අඩු කරන්න ($F(b) - F(a)$).

4. විභාග ආදර්ශ ගැටලු පියවරෙන් පියවර (MCS2 Model Paper 01 - Q04)

ප්‍රශ්නය 4.1: Find indefinite integral $\int x^4 dx$ using power rule (4 marks)

Step-by-step:

• බලය 4 යි. ඒකට 1ක් එකතු කළාම 5 යි $\rightarrow \mathbf{x^5}$
• ඒ අලුත් බලයෙන් (5 න්) බෙදන්න $\rightarrow \mathbf{\frac{x^5}{5}}$
• අගට අනිවාර්යයෙන්ම $\mathbf{+ C}$ නියතය දාන්න ඕනේ.

Final Answer:

$$\mathbf{\frac{x^5}{5} + C}$$

ප්‍රශ්නය 4.2: Evaluate polynomial integral $\int (3x^2 + 4x + 5) dx$ (4 marks)

Step-by-step:

• $3x^2$ $\rightarrow$ බලයට 1ක් එකතු කළාම $x^3$. 3න් බෙදන්න $\rightarrow \frac{3x^3}{3} = \mathbf{x^3}$
• $4x$ $\rightarrow$ බලයට 1ක් එකතු කළාම $x^2$. 2න් බෙදන්න $\rightarrow \frac{4x^2}{2} = \mathbf{2x^2}$
• $5$ $\rightarrow$ තනි ඉලක්කමක් අනුකලනය කරද්දී අගට $x$ එකක් එනවා $\rightarrow \mathbf{5x}$

Final Answer:

$$\mathbf{x^3 + 2x^2 + 5x + C}$$

ප්‍රශ්නය 4.3: Explain why constant $C$ must be added (6 marks)

පැහැදිලි කිරීම:

අවකලනයේදී ඕනෑම නියත අගයක් (constant number) 0 බවට පත්වෙනවා. උදාහරණයක් විදිහට $x^2 + 5$ සහ $x^2 + 10$ යන දෙකම අවකලනය කළාම එන්නේ $2x$ විතරයි.

ඒ නිසා ආපහු අනුකලනය (reverse) කරලා මුල් සමීකරණය හොයද්දී, ඒකේ මුලින් තිබුණේ 5 ද, 10 ද කියලා අපිට නිශ්චිතව කියන්න බෑ. ඒ නැතිවුණු නියත අගය නියෝජනය කරන්න තමයි අපි සාමාන්‍ය අකුරක් විදිහට "$C$" පාවිච්චි කරන්නේ.

ප්‍රශ්නය 4.4: Evaluate definite integral from 0 to 2 of $(x+1) dx$ (6 marks)

Step-by-step: මේකට $C$ දාන්න ඕනේ නෑ, සීමාවන් (limits) තියෙන නිසා.

• පියවර 1 (අනුකලනය): $\int (x+1) dx$ අනුකලනය කරමු. $x \rightarrow \frac{x^2}{2}$, $1 \rightarrow x$. එතකොට සමීකරණය $\mathbf{\left[\frac{x^2}{2} + x\right]_0^2}$
• පියවර 2 (ඉහළ සීමාව ආදේශය): $x$ වෙනුවට ඉහළ අගය වන $2$ දාන්න:
$$\left(\frac{2^2}{2} + 2\right) = \left(\frac{4}{2} + 2\right) = 2 + 2 = \mathbf{4}$$ • පියවර 3 (පහළ සීමාව ආදේශය): $x$ වෙනුවට පහළ අගය වන $0$ දාන්න:
$$\left(\frac{0^2}{2} + 0\right) = 0 + 0 = \mathbf{0}$$ • පියවර 4 (අඩු කිරීම): (පියවර 2 හි අගය) - (පියවර 3 හි අගය):
$$4 - 0 = \mathbf{4}$$

Final Answer:

$$\mathbf{4}$$

5. ස්වයං ඇගයීම් අභ්‍යාස (Self-Assessment MCQs)

ලකුණු: 0 / 4

1. $\int x^6 \,dx$ හි අගය කුමක්ද?

2. $\int 8 \,dx$ හි අනුකලනය කුමක්ද?

3. Definite Integral ($\int_a^b f(x)\,dx$) ගණනය කිරීමේදී නියතය $+ C$ අවශ්‍ය නොවන්නේ ඇයි?

4. $\int_0^1 2x \,dx$ හි අගය සොයන්න: