Probability, Series & Recursion
සම්භාවිතාව, අනුක්‍රම සහ ශ්‍රේණි, ගණිත අභ්‍යූහනය — කෙටි සටහන් සහ විසඳුම්
- නියැදි අවකාශය (Sample Space - $S$): අහඹු පරීක්ෂණයක සිදුවිය හැකි සියලුම ප්‍රතිඵල කුලකය.
- Classical Probability: $$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{\text{අවශ්‍ය සිදුවීම් ගණන}}{\text{මුළු ප්‍රතිඵල ගණන}}$$
- කොන්දේසි සහිත සම්භාවිතාව (Conditional Probability): $B$ සිදුවී ඇති විට $A$ සිදුවීමේ සම්භාවිතාව:
$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \quad (P(B) > 0)$$
2. Sequences & Series (අනුක්‍රම සහ ශ්‍රේණි)
පද අතර ස්ථිර පොදු වෙනසක් ($d$) පවතී:
$a_1$ = පළමු පදය, $d$ = පොදු වෙනස ($a_{k} - a_{k-1}$), $n$ = පද ගණන
පොදු අනුපාතය $|r| < 1$ වන විට අනන්තය දක්වා ඓක්‍යය:
$a$ = පළමු පදය, $r$ = පොදු අනුපාතය ($|r| < 1$ විය යුතුයි)
3. Summation Formula (ඓක්‍ය සූත්‍රය)
පළමු ධන පූර්ණ සංඛ්‍යා $n$ හි එකතුව සෙවීමේ සූත්‍රය:
4. Mathematical Induction (ගණිත අභ්‍යූහනය)
ඕනෑම $n \in \mathbb{N}$ සඳහා ප්‍රකාශනයක් ($P(n)$) සත්‍ය බව ඔප්පු කිරීමේ ප්‍රධාන පියවර දෙක:
$n = 1$ සඳහා $P(1)$ ප්‍රකාශනය සත්‍ය බව පෙන්වීම (Verify that the statement holds for $n=1$).
$n = k$ සඳහා $P(k)$ සත්‍ය යැයි උපකල්පනය කර, එමගින් එය $n = k+1$ සඳහා ද සත්‍ය බව සාධනය කිරීම ($P(k) \implies P(k+1)$).
5. විභාග ආදර්ශ ගැටලු පියවරෙන් පියවර (MCS2 Model Paper 01 - Q05)
Step-by-step: මේක සමාන්තර ශ්‍රේණියක්.
• පොදු වෙනස ($d$) කියන්නේ පද දෙකක් අතර පරතරය = $7 - 3 = \mathbf{4}$
• අපිට හොයන්න ඕනේ 10 වෙනි පදය, ඒ නිසා $\mathbf{n = 10}$
සමීකරණයට දාමු ($a_n = a_1 + (n-1)d$):
$$a_{10} = 3 + (10 - 1) \times 4$$ $$a_{10} = 3 + (9 \times 4)$$ $$a_{10} = 3 + 36 = \mathbf{39}$$
Final Answer:
Step-by-step:
• සමීකරණයට දාමු:
$$S_\infty = \frac{6}{1 - 0.5} = \frac{6}{0.5}$$ 6ක් ඇතුලේ බාගයේ ($0.5$) කෑලි කීයක් තියෙනවද? $\mathbf{12}$ යි ($6 \times 2 = 12$).
Final Answer:
Step-by-step: මුල් ඉලක්කම් 20 එකතුව.
• සමීකරණයට දාමු:
$$\text{Sum} = \frac{20(20+1)}{2} = \frac{20 \times 21}{2}$$ 20 න් 2 කැපුවම 10 යි $\rightarrow 10 \times 21 = \mathbf{210}$
Final Answer:
Step-by-step: ගණිත අභ්‍යූහනයෙන් සාධනය කරන ප්‍රධාන පියවර දෙක.
2. Inductive Step (අභ්‍යූහන පියවර): ප්‍රකාශනය යම්කිසි $n=k$ අගයකට සත්‍ය යැයි උපකල්පනය කර (Assume $P(k)$ is true), එම උපකල්පනය භාවිතයෙන් එය ඊළඟ පදය වන $n=k+1$ සඳහා ද සත්‍ය බව සාධනය කිරීම ($P(k) \implies P(k+1)$).