Vector Spaces & Subspaces
වෙක්ටර් අවකාශ, උපඅවකාශ, රේඛීය ස්වාධීනත්වය සහ Rank-Nullity ප්‍රමේයය
📐 Vector Space ($V$) යනු කුමක්ද?
Vector Space එකක් යනු Vector Addition (වෙක්ටර් එකතු කිරීම) සහ Scalar Multiplication (අදිශ ගුණනය) යන මෙහෙයුම් දෙක යටතේ නිශ්චිත Axioms (ස්වයංසිද්ධි/නීති) 10ක් තෘප්ත කරන කුලකයකි.
1. Subspace (උපඅවකාශය) වීමට අවශ්‍ය කොන්දේසි 3
$V$ නම් Vector Space එකක උපකුලකයක් ($W \subseteq V$) Subspace එකක් වීමට පහත කොන්දේසි 3 අනිවාර්යයෙන්ම සපුරාලිය යුතුය:
1️⃣ Zero Vector අඩංගු වීම
ශුන්‍ය වෙක්ටරය $W$ තුළ අඩංගු විය යුතුය:
$$\mathbf{0} \in W$$
2️⃣ එකතු කිරීමට ආවෘත වීම
ඕනෑම $u, v \in W$ සඳහා ඒවායේ එකතුව ද $W$ හි තිබිය යුතුය:
$$u + v \in W$$
3️⃣ අදිශ ගුණනයට ආවෘත වීම
ඕනෑම $u \in W$ සහ $c \in \mathbb{R}$ සඳහා:
$$c \cdot u \in W$$
2. Linear Independence (රේඛීය ස්වාධීනත්වය)
වෙක්ටර් කුලකයක් $\{v_1, v_2, \dots, v_k\}$ Linearly Independent යැයි කියනු ලබන්නේ:
$$c_1 v_1 + c_2 v_2 + \dots + c_k v_k = \mathbf{0}$$
ඉහත සමීකරණය තෘප්ත වන එකම විසඳුම සියලුම අදිශයන් ශුන්‍ය වීම ($c_1 = c_2 = \dots = c_k = 0$) පමණක් නම් පමණි.
*එනම් කිසිදු වෙක්ටරයක් අනෙක් වෙක්ටර් වල රේඛීය එකතුවක් (Linear Combination) ලෙස ප්‍රකාශ කළ නොහැක.
*එනම් කිසිදු වෙක්ටරයක් අනෙක් වෙක්ටර් වල රේඛීය එකතුවක් (Linear Combination) ලෙස ප්‍රකාශ කළ නොහැක.
3. Rank-Nullity Theorem (ප්‍රමේයය)
ඕනෑම $m \times n$ Matrix එකක් ($A$) සඳහා Rank-Nullity Theorem ප්‍රකාශ කරන්නේ:
$$\mathbf{\text{Rank}(A) + \text{Nullity}(A) = n}$$
• $\text{Rank}(A)$ = Column space එකේ Dimension එක (ස්වාධීන පේළි/තීරු ගණන).
• $\text{Nullity}(A)$ = Null space එකේ Dimension එක ($Ax = 0$ හි විසඳුම් අවකාශය).
• $n$ = Matrix එකෙහි ඇති මුළු තීරු (Columns) ගණන.
• $\text{Nullity}(A)$ = Null space එකේ Dimension එක ($Ax = 0$ හි විසඳුම් අවකාශය).
• $n$ = Matrix එකෙහි ඇති මුළු තීරු (Columns) ගණන.
4. විභාග ආදර්ශ ගැටලු පියවරෙන් පියවර (MCS2 Model Paper 01 - Q06)
ප්‍රශ්නය 6.1: State 3 conditions for subset W to be a valid subspace (4 marks)
Step-by-step: කුලකයක් Subspace එකක් වෙන්න අනිවාර්යයෙන් සම්පූර්ණ විය යුතු නීති 3.
1. Contains Zero Vector: එය තුළ ශුන්‍ය දෛශිකය ($\mathbf{0}$) අඩංගු විය යුතුය ($\mathbf{0} \in W$).
2. Closure under Addition: එහි ඇති ඕනෑම වෙක්ටර් දෙකක් ($u$ සහ $v$) එකතු කළ විට ලැබෙන පිළිතුර ද ඒ තුළම තිබිය යුතුය ($u, v \in W \implies u+v \in W$).
3. Closure under Scalar Multiplication: එහි ඇති වෙක්ටරයක් ඕනෑම ඉලක්කමකින් ($c$) ගුණ කළ විට ලැබෙන පිළිතුර ද ඒ තුළම තිබිය යුතුය ($u \in W, c \in \mathbb{R} \implies c \cdot u \in W$).
2. Closure under Addition: එහි ඇති ඕනෑම වෙක්ටර් දෙකක් ($u$ සහ $v$) එකතු කළ විට ලැබෙන පිළිතුර ද ඒ තුළම තිබිය යුතුය ($u, v \in W \implies u+v \in W$).
3. Closure under Scalar Multiplication: එහි ඇති වෙක්ටරයක් ඕනෑම ඉලක්කමකින් ($c$) ගුණ කළ විට ලැබෙන පිළිතුර ද ඒ තුළම තිබිය යුතුය ($u \in W, c \in \mathbb{R} \implies c \cdot u \in W$).
ප්‍රශ්නය 6.2: Verify whether set $W = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid y = 2x\}$ contains zero vector $(0,0)$ (4 marks)
Step-by-step:
• Zero vector එක කියන්නේ ඛණ්ඩාංක $(0,0)$. ඒ කියන්නේ $x = 0$ සහ $y = 0$.
• කුලකයේ සමීකරණය තමයි $y = 2x$.
• මෙයට $x = 0$ ආදේශ කරමු: $y = 2(0) = \mathbf{0}$.
• එවිට $y$ සඳහා ලැබෙන අගයත් $0$ වේ.
• කුලකයේ සමීකරණය තමයි $y = 2x$.
• මෙයට $x = 0$ ආදේශ කරමු: $y = 2(0) = \mathbf{0}$.
• එවිට $y$ සඳහා ලැබෙන අගයත් $0$ වේ.
Final Answer: සමීකරණය සත්‍ය වන බැවින්, මෙම කුලකය තුළ Zero vector $(0,0)$ අඩංගු වේ.
ප්‍රශ්නය 6.3: Define what it means for vectors $\{v_1, v_2, \dots, v_k\}$ to be linearly independent (6 marks)
Step-by-step: රේඛීය ස්වාධීනත්වය යනු කුමක්ද?
• දී ඇති වෙක්ටර් කුලකයක් භාවිතයෙන් $c_1 v_1 + c_2 v_2 + \dots + c_k v_k = \mathbf{0}$ යන සමීකරණය ගොඩනැගූ විට,
• එම සමීකරණය සත්‍ය විය හැකි එකම ක්‍රමය සියලුම නියතයන් ($c_1, c_2, \dots, c_k$) බිංදුවට සමාන වීම පමණක් නම් ($c_1 = c_2 = \dots = c_k = 0$),
• එම වෙක්ටර් කුලකය Linearly Independent (රේඛීයව ස්වාධීන) ලෙස හැඳින්වේ.
(එනම් එක වෙක්ටරයක් අනෙක් ඒවායේ එකතුවෙන් සෑදිය නොහැක).
• එම සමීකරණය සත්‍ය විය හැකි එකම ක්‍රමය සියලුම නියතයන් ($c_1, c_2, \dots, c_k$) බිංදුවට සමාන වීම පමණක් නම් ($c_1 = c_2 = \dots = c_k = 0$),
• එම වෙක්ටර් කුලකය Linearly Independent (රේඛීයව ස්වාධීන) ලෙස හැඳින්වේ.
(එනම් එක වෙක්ටරයක් අනෙක් ඒවායේ එකතුවෙන් සෑදිය නොහැක).
ප්‍රශ්නය 6.4: State relation between rank & nullity as given by Rank-Nullity Theorem (6 marks)
Step-by-step:
Rank-Nullity ප්‍රමේයය මගින් පවසන්නේ, $m \times n$ න්‍යාසයක (මෙහි $n$ යනු මුළු තීරු / Columns ගණනයි) Rank අගය සහ Nullity අගය එකතු කළ විට සෑමවිටම එම මුළු තීරු ගණනට සමාන වන බවයි.
Final Answer:
$$\mathbf{\text{Rank}(A) + \text{Nullity}(A) = n \quad (\text{Total columns})}$$
5. ස්වයං ඇගයීම් අභ්‍යාස (Self-Assessment MCQs)
1. $W = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid y = 2x + 1\}$ කුලකය $\mathbb{R}^2$ හි Subspace එකක් නොවේ. හේතුව:
2. $4 \times 6$ Matrix එකක Rank එක 3 නම්, එහි Nullity හි අගය කීයද?
3. $v_1 = (1, 2)$ සහ $v_2 = (2, 4)$ යන වෙක්ටර් දෙක:
4. Rank-Nullity Theorem හි $n$ මගින් නිරූපණය කරන්නේ කුමක්ද?