Permutation & Combination
ක්‍රමාරෝප සහ සංයෝජන — සරල සිංහල පැහැදිලි කිරීම් සහ අභ්‍යාස
💡 මතක තබා ගැනීමේ රීතිය:
• Permutation (ක්‍රමාරෝප) = පිළිවෙළ වැදගත් වේ (Order matters).
• Combination (සංයෝජන) = පිළිවෙළ වැදගත් නැත (Order does not matter).
1. මූලික වෙනස හඳුනාගනිමු
$A, B, C$ ලෙස පුද්ගලයන් 3 දෙනෙකු සිටින අවස්ථාවක් සලකමු:
Permutation — සකස් කිරීම (Arrange)
$A$ සහ $B$ පේළියකට සිටුවන විට:
AB සහ BA යනු පිළිවෙළ වෙනස් නිසා අවස්ථා දෙකකි.
Combination — තේරීම (Select)
$A$ සහ $B$ කණ්ඩායමකට තෝරා ගන්නා විට:
AB සහ BA යනු එකම සාමාජිකයන් බැවින් එක් අවස්ථාවකි.
2. Factorial (!) යනු කුමක්ද?
Factorial යනු යම් පූර්ණ සංඛ්‍යාවක සිට $1$ දක්වා ඇති සියලු පූර්ණ සංඛ්‍යා වල ගුණිතයයි.
$$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$$
$$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$$
$$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$$
⚠️ විශේෂ නියමය: $$0! = 1$$
3. Permutation සූත්‍රය
$n$ සංඛ්‍යාවකින් $r$ සංඛ්‍යාවක් තෝරා පිළිවෙළකට සකස් කරන ආකාර ගණන:
$${}^n\text{P}_r = \frac{n!}{(n - r)!}$$
උදාහරණය: $A, B, C$ අකුරු 3න් අකුරු 2ක් පිළිවෙළට සකස් කළ හැකි ආකාර ගණන සොයන්න ($n = 3, r = 2$):
$${}^3\text{P}_2 = \frac{3!}{(3 - 2)!} = \frac{3!}{1!} = \frac{6}{1} = 6$$
ආකාර 6: AB, BA, AC, CA, BC, CB
4. Combination සූත්‍රය
$n$ සංඛ්‍යාවකින් $r$ සංඛ්‍යාවක් පිළිවෙළ නොසලකා තෝරා ගන්නා ආකාර ගණන:
$${}^n\text{C}_r = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n - r)!}$$
උදාහරණය: $A, B, C$ අකුරු 3න් අකුරු 2ක් තෝරාගත හැකි ආකාර ගණන සොයන්න ($n = 3, r = 2$):
$${}^3\text{C}_2 = \frac{3!}{2!(3 - 2)!} = \frac{6}{2 \times 1} = 3$$
ආකාර 3: AB, AC, BC
5. ගැටලුවෙන් නිවැරදි සූත්‍රය හඳුනාගැනීම
| ප්‍රශ්නයේ ස්වභාවය | භාවිතා කළ යුතු සූත්‍රය |
|---|---|
| පුද්ගලයන් පේළියකට සකස් කිරීම | Permutation (${}^n\text{P}_r$) |
| තරගයක 1, 2, 3 ස්ථාන තේරීම | Permutation (${}^n\text{P}_r$) |
| කණ්ඩායමකට සාමාජිකයන් තේරීම | Combination (${}^n\text{C}_r$) |
| පොත් ගොඩකින් පොත් 3ක් තේරීම | Combination (${}^n\text{C}_r$) |
6. ස්වයං ඇගයීම් අභ්‍යාස
1. $A, B, C, D$ අකුරු 4න් අකුරු 2ක් පිළිවෙළට සකස් කිරීමට (Permutation) ක්‍රම කීයක් තිබේද?
2. පුද්ගලයන් 5 දෙනෙකුගෙන් 2 දෙනෙක් තෝරා Team එකක් හදන ක්‍රම (Combination) කීයක් තිබේද?
3. ${}^4\text{P}_2$ හි අගය සොයන්න.
4. ${}^5\text{C}_2$ හි අගය සොයන්න.
5. $5!$ හි අගය සොයන්න.